RELASI

RELASI

Pertemuan Ke-7

A. Pasangan Berurutan
     Misalkan x dan y menjadi Obyek. Himpunan (x,y) = {(x), (x,y)}adalah urutan pasangan urutan x dan y.
     Dalam pasangan urutan (x,y),

1. Pertama x dan y disebut berurutan, dan
2. Kedua x dan y disebut koordinat dari kedua (x,y).

B. Himpunan Product Cartesius

     Misalkan A dan B himpunan-himpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis AxB adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a Î A dan b Î B. Dapat ditulis:

     AxB = {(a,b)| a Î A, b Î B}

    Contoh : Diketahui A = {a,b} dan B = {1,2,3}, maka:

      (1). AxB =  {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

      (2). BxA = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} 

      Jadi kesimpulannya : A x B ≠ B x A.

C. Relasi

    Relasi adalah hubungan antara dua himpunan Adan B yang saling berpasangan antara anggota A dengan anggota B.

   CATATAN :

   Tiap anggota A tidak harus memiliki pasangan himpunan B .

   Contoh :

    Dari relasi diatas dapat disimpulkan bahwa Suatu hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

• Cara Menyatakan Relasi

1.         Dengan Diagram Panah (lihat gambar 1).
2.         Dengan Himpunan Pasangan Berurutan.
3.         Dengan Grafik Cartesius (lihat gambar 5.3).

• Operasi Relasi

          Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan juga berlaku dalam relasi:

         1. Operasi   ∩ (intersection/irisan)

          2. Operasi   ∪ (union/gabungan)

          3. Operasi   ⊕ (symmetric difference/persamaan simetris)

          4. Operasi  - (difference/selisih)

          5. Operasi komplemen (komplemen relative terhadap Cartesian product)

• Macam Relasi

1. Relasi Refleksi

       2. Relasi Simetri

       3. Simetri Transitif

       4. Relasi Ekuivalen

   tj    D. Invers dan Kontraposisi

              Relasi Invers : Misalkan R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R ditulis R-1 adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap pasangan terurut pada R−1 jika urutan anggota-anggotanya dibalik merupakan anggota dari R. Jadi  R−1= {(b,a) / (a,b) ∈ R}.

         Contoh : Relasi R pada A = {1, 2, 3} didefinisikan sebagai  R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}, apa R-1  nya ?

Jawab : R-1  = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.

E. Relasi Ekuivalen

    Relasi Ekivalen adalah relasi yang memenuhi sifat: 

o Refleksif

o Simetri

o Transitif

Contoh : 

R={(a, b)| a=b atau a=-b, a, b∈Z}

Apakah R relasi ekivalen?

Pada relasi ini, jelas dipenuhi a=a, ∀a∈Z,

berarti (a, a) ∈ R atau bersifat refleksif.

•Untuk sifat simetri, terdapat dua kemungkinan:

1. Jika a=b, berarti (a, b)∈R, ∀a, b∈Z maka b=a, berarti (b, a)∈R

2.  Jika a=-b, berarti (a, b)∈R, ∀a, b∈Z maka b=-a, berarti (b,a)∈R,

  Sehingga R bersifat simetri.

•Untuk sifat transitif, mempunyai empat kemungkinan:

1.  Jika a=b, dan b=c, maka a=c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z

2.Jika a=b, dan b=-c, maka a=-c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z

3. Jika a=-b, dan b=c, maka a=-c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z

4.Jika a=-b, dan b=-c, maka a=c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z

•Sehingga R bersifat transitif.

•Jadi, R relasi ekivalen.